[book]笑わない数学者の問題と解答

笑わない数学者 MATHEMATICAL GOODBYE (講談社文庫)

この本にはこんな問題が載っている。

さて、では、もう一つ問題をだそう。
五つのビリヤードの玉を真珠のネックレスのように、リングに繋げてみるとしよう。
玉には、それぞれナンバが書かれている。
さて、この五つの玉のうち、いくつとっても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。
一つでも、二つでも、五つでも全部でも良い。
しかし、離れているものはとれない。
この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、１から２１までのすべての数ができるようにしたい。
さあ、どのナンバの玉を、どのように並べてネックレスを作れば良いかな？

さあ、あなたにはこの問題が解けるかな？
考え込んだ末、私はなんとか解けたので以下に解答を書いてみる。

↓解答あり

↓解答あり

↓解答あり

↓解答あり

↓解答あり

↓解答あり

考えの筋道

まず前提条件として、ビリヤードの玉は1から15まである。最初僕はナインボールを思い浮かべてしまったので、1から9までだと思い込んでいた。

(a) 1と2は必ず必要

1番球と2番球がないと1と2が表現できないので、1と2は必ず必要だ。あとは残り3つの球を決めればよい。

(b) 球の組み合わせとその合計値は1対1だ

問題の条件（隣り合う連続した球しか取れない）に沿った組み合わせは次の通りだ。

• 球を1つ取り出す組み合わせ ・・・ 5通り
• 球を2つ取り出す組み合わせ ・・・ 5通り
• 球を3つ取り出す組み合わせ ・・・ 5通り
• 球を4つ取り出す組み合わせ ・・・ 5通り
• 球を5つ取り出す組み合わせ ・・・ 1通り

計21通りである。これらの組み合わせが1〜21の各整数に対応するのだから、組み合わせと合計値は1対1に対応することが分かる。

(c) 5つの球の合計値は21

(b)が成立するということから、5つの球の合計値は21でなくてはならないことがすぐに分かる。さらに(a)の条件があるので、残り3つの球の合計値は18でなくてはならない。

(d) 1から10まで表現できればOK

x=1〜10の各整数が表現できれば、21-x で11から20までを表現することが出来る。

(e) 3番球か4番球のどちらかは必ず必要

4を表すには、4番球を使うか、あるいは1番球と3番球の合計で表すしかない。つまり、3番か4番のどちらかは必ず必要である。

以上の条件から、次の6通りに絞られる

• 1,2,3,4,11
• 1,2,3,5,10
• 1,2,3,6,9
• 1,2,3,7,8
• 1,2,4,5,9
• 1,2,4,6,8

3番球を使う場合は、1番球と2番球は離して配置

1番球と2番球が隣り合っていると、3が3番球自身と、1番球+2番球の2通りで表現できてしまう。これは(b)の条件に合わないので、1番球と2番球は隣接してはいけないことが分かる。

3番球を使わない場合は、1番球と2番球は隣接して配置

3を表すには1番球と2番球を隣接させるしかない。

答え

ここまで条件がそろえば、後は虱潰しで簡単に答えが見つかる。
1, 3, 10, 2, 5 の順に球を並べれば良い。