クォータニオンとオイラーの公式に関する疑問
先日に引き続き、クォータニオンについて。
クォータニオンについて、一つ疑問に思っていることがある。これはホントに知りたいと思っているので、誰か分かる人がいたらぜひ教えて欲しい。
疑問
複素数には、オイラーの公式という非常に美しい式があるわけだ。
この公式のおかげで、任意の複素数は次のように指数関数で表せてしまう。
だから、複素数の積は次のようにごくシンプルに求めることが出来る。
クォータニオンを指数関数で表現できるか
次のクォータニオンを指数関数で表現したい。
というわけで、僕なりに式変形にトライしてみた。まず虚部のベクトル v を正規化することにする。
さらに全体を正規化することにする。
ここでθを次のように定義する。
さらに、次の記号を導入する。
すると q は次のように書き換えられる。
いよいよ核心に近づいてきた。後は新たに導入した が虚数単位 i と同様の性質を持つか調べればよい。つまり、 が成立するかどうかを調べればよい。
以上より、i' が虚数単位と同様の性質を持つことが示されたので、オイラーの公式により q は次式で表現できる。
・・・これ、あってる?うーん、自信がない。いっとくけど、ここに書いてあること信用しちゃダメよ。この式展開は僕が生半可な知識で計算しただけのものだからね。