三角形メッシュの平均曲率法線

平均曲率法線 - カタチづくりの続き。

前回見たように、平均曲率法線は次式で計算できる。
$\kappa_H\vec{n}=-\frac{1}{A}\int\int_A \Delta\vec{f}du dv$
これをポリゴンに適用したい。つまり、この式を用いて三角形メッシュの頂点の平均曲率法線を算出したい。しかし、ポリゴンはパラメトリック曲面ではないのでパラメータu, vが使えないのだ。そこで次のストークスの定理を使う。
$\int_A d\omega=\int_{\partial A} \omega$
これを使うと、面積分を線積分に変換することが出来る。で、こうなるらしい。
$\kappa_H\vec{n}=-\frac{1}{A}\int_{\partial A} (\nabla\vec{f},\vec{n}) dl$
この辺の式変形が良く分からない。とにかくこのまま計算を続けていくと、次式が得られるそうだ。
$\kappa_H\vec{n}=\frac{1}{2A}\sum_{j\in N_1(i)}(\cot \alpha_{ij} + \cot\beta_{ij})(\vec{x_i}-\vec{x_j})$