平均曲率法線 - カタチづくり

これはメモです。今後も追記や整理をしていくと思います。

今、論文 "Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds" を読もうと頑張ってますが四苦八苦していて、そのためのメモです。
論文はこちら http://www.cs.caltech.edu/~mmeyer/Publications/diffGeomOps.pdf

曲率の行列（復習）

曲面の式を $z=f(x,y)$ とする。これを原点(0,0)周りにテイラー展開するとこうなる。
$z=f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}x+\frac{\partial f}{\partial y}y+\frac{1}{2}\left(x y\right)\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)+...$
この行列が曲率を表すベクトルだ。
$K=\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array} \right)$
この行列Kを使うと、平均曲率は
$\kappa_H=\frac{1}{2}tr(K)$
ガウス曲率は
$\kappa_G=\det(K)$
と表せる。
ここでは平均曲率に着目する。平均曲率の式を展開するとこうなる。
$\kappa_H=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)=\frac{1}{2}\Delta f$
ここで $\Delta$ はラプラシアンだ。
$\Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$

Laplace-Beltrami Operator (ラプラス-ベルトラミ作用素)

上記では曲面を $z=f(x,y)$ という式で表していた。しかし、より一般的にはパラメータu,vを用いたパラメトリック表現が用いられる。
$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\vec{f}(u,v)$
このパラメトリック表現の場合、平均曲率法線は次式で計算できるらしい。
$\kappa_H\vec{n}=-\Delta_{u,v}\vec{f}$
ここで $\vec{n}$ は法線ベクトル（単位ベクトル）であり、 $\Delta_{u,v}$ がラプラス-ベルトラミ作用素だ。
$\Delta_{u,v}=\nabla_{u,v}^2=\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}$
ところで平均曲率法線とは何を意味するのか？平均曲率が大きい箇所というのは、曲面が激しく曲がっている箇所である。これはその曲面の特徴的な形状を担っている箇所と言えるだろう。であるから、たとえば曲面の形状を出来るだけ保ちながら変形したい場合には、この平均曲率法線を出来るだけ保つようにすれば良い。
さてここで、曲面上の閉じた領域Aを考えよう。この領域Aの平均曲率法線の平均は次式で与えられる。（平均の平均、とはちょっと分かりにくいが）
$\frac{1}{A}\int_A\kappa_H\vec{n}dA=-\frac{1}{A}\int\int_A\Delta_{u,v}\vec{f} du dv$
さていよいよ次は、これをポリゴン曲面に当てはめていこう。

ポリゴン頂点における平均曲率法線

続きはこちら http://d.hatena.ne.jp/u_1roh/20060711